2016年6月の十五夜の日は、18日(月)ですが月齢はまだ13.7。

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この写真は18日(月)午前0時のもの

月齢が15の望月=満月になるのは、翌々日の20日(水)です。(月齢15.7)

19日の月齢は14.7なので、15になるのがギリギリ20日に入ってしまいます。
したがって十五夜の日からは2日ずれてしまうのです。

暦上の十五夜は、新月から15日目の日という意味なので、必ずしも天文学上の月齢(月の形の満ち欠けの状態)の満月とは一致せず、このような開きが出てしまうことがあるのです。 

わずかな違いなので、気づかないことも多いかもしれませんが、十五夜の日のお月さんがまん丸の満月ではないことは、けっこう多いものです。